В 1997 году Игорь Алексеев окончил Кисловодский университет Академии оборонных отраслей промышленности Российской Федерации по специальности «менеджмент». В 1999 году он завершил обучение в Северо-Кавказском государственном техническом университете, получив диплом по специальности «юриспруденция». В 2001 году Игорь Алексеев успешно защитил кандидатскую диссертацию на тему «Правовой статус депутатов представительных органов местного самоуправления Южного федерального округа». В 2005 году ему было присвоено звание доцента.
С 1998 по 2012 год Игорь Алексеев занимал различные должности в системе государственной и муниципальной службы Ставропольского края. За это время он получил несколько классных чинов: советник налоговой службы III класса и действительный государственный советник Ставропольского края I класса.
C начала 2000-х годов работал в сфере высшего образования, в том числе на руководящих должностях. С 2022 года занимал пост ректора Северо-Кавказского горно-металлургического института (ГТУ). В сентябре 2023 года был назначен и. о. ректора Астраханского государственного университета имени В. Н. Татищева.
Приступив к работе в Астраханском госуниверситете, Игорь Алексеев внедрил комплекс мер по финансовой стабилизации, которые принесли ощутимые результаты. Это создало прочную основу для дальнейшего роста и развития вуза. Кроме того, были открыты новые, востребованные направления подготовки и научные центры, а также установлены долгосрочные и надёжные партнёрские отношения с крупными производственными предприятиями. Благодаря этому расширилась база компаний, где студенты могут проходить практику.
Игорь Алексеев — автор 27 учебников, девяти монографий и более 140 научных и методических публикаций. Награждён почётной грамотой Министерства образования и науки Российской Федерации, благодарностью комитета Государственной думы по образованию и науке, а также медалью «За вклад в реализацию государственной политики в области образования и научно-технологического развития». Кроме того, ему присвоено звание «Почётный работник сферы образования Российской Федерации».